INTRODUCCIO A TERMINOS SEMEJANTES
10/08/2008
COLEGIO TECNOLOGICO EN INFORMATICA.
ALUMNOS DE TERCERO BASICO.
Términos semejantes
Objetivo de aprendizaje:
Realizarás reducciones de términos semejantes, a partir de la comparación entre las variables y exponentes que los conforman.
Introducción:
Los términos algebraicos se conforman de signo, coeficiente, variables o literales (que por lo general se representan con letras) y exponentes. En las expresiones algebraicas podemos encontrar términos algebraicos cuyas literales pueden ser iguales entre sí o no serlo, lo cual nos permitirá realizar ciertas operaciones.
El estudio de este tema te permitirá que identifiques qué son los términos semejantes y cómo a partir ellos puedes realizar reducciones (sumas y restas) de los mismos.
1 EXPRESIÓN ALGEBRAICA Ejemplos
Es una combinación de números y letras relacionados con operaciones de suma, resta, multiplicación, división y a veces también por medio de potencias, radicación, exponenciación y logaritmación. 1. (5x – 10)2
2.
3. xy + 4x2yz – 4z3
2 TÉRMINO Ejemplos
El término es la unidad fundamental operativa en álgebra. Se separan por medio de suma y resta.
El término contiene multiplicaciones y divisiones. a) . 7x
b).
c) .
3 PARTE DE UN TÉRMINO
Consta de una parte literal y otra numérica
-7 Representa el coeficiente numérico.
Representa el coeficiente literal.
El coeficiente literal se ordena en forma alfabética
4 TÉRMINOS SEMEJANTES
Ejemplos
Son aquellos que poseen la misma parte literal. 6a2b es semejante con -8 a2b
-2x es semejante con 5x
x es semejante con 3x
4xyz no es semejante con
5 MULTINOMIO (Más de un término)
Monomio (1 término) Binomio (2 términos) Trinomio (3 términos)
Según el número de términos que posee una expresión algebraica se denomina MONOMIO, BINOMIO, TRINOMIO Y MULTINOMIO. 5x
xyz3
2x + 3y
a2 – 2b2
+ 5
8 + y 3x + 5y – 7
a + b – c
+ 2x – 5
27 + x – y
IMPORTANTE: Los términos se separan por los signos + y/o –
POLINOMIOS
Los polinomios están formados por términos cuyos coeficientes literales contienen exclusivamente exponentes enteros positivos.
Forma general de un polinomio de una variable (P(x)) P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + ....... anxn
1) a0 , a1 , a2 , a3 , ....... an (constante x IR)
2) n (exponente) IN {0}.
Ejemplos de polinomios y no polinomios.
Son polinomios No son polinomios
a) x2 + 2x – 1
b) x + 3
c) x3 – 2x + 1
Presencia de exponentes enteros positivos a) + 2x – 1
b) + 5
c) + 1
Presencia de exponentes fraccionarios.
7 PARÉNTESIS PARA
AGRUPAMIENTO DE EXPRESIONES.
Tipos
Simbología
Ejemplos
Redondo Corchete Llaves ( ) [ ] { } – (3x – 1) [2x – 1] {5x – 3}
8 ELIMINACIÓN DE PARENTESIS • CASO 1: Cuando el signo (+) antecede el paréntesis no interviene en la operación. + (a – 2b) = a – 2b
• CASO 2: Cuando el signo (–) antecede el paréntesis si interviene en la operación.
CASO 3: Presencia de paréntesis dentro del paréntesis. Estas expresiones se resuelven de adentro hacia fuera.
Ejemplo: – {8x – [x – 4(3 – x) + 1]}
= – {8x – [x – 12+ 4x + 1]}
= – {8x – [ – 11+ 5x]}
= – {8x + 11– 5x}
= – 8x - 11 + 5x
= -3x - 11
Reducción de términos semejantes
Los términos semejantes son los términos algebraicos que tienen el mismo factor literal, es decir, deben tener las mismas letras con los mismos exponentes. Por ejemplo:
es término semejante con
. El término
es término semejante con
.
La reducción de términos semejantes consiste en sumar o restar éstos términos que se encuentran en alguna expresión algebraica.
Algunos ejemplos de la reducción de expresiones algebraicas son los siguientes:
(i) De acuerdo a la siguiente la figura determina el perímetro
Entonces el perímetro de la figura, es la suma de las medidas de todos sus lados, esto es: en este caso hay tres términos algebraicos cuyo factor literal es por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos algebraicos que tienen factor literal por lo cual se pueden sumar. Por lo tanto
(ii)
En este ejemplo hay dos términos cuyo factor literal es
, estos términos son semejantes, por lo cual se pueden sumar. También hay tres términos que tienen factor literal
, por tanto, son términos semejantes y se pueden sumar. En la expresión algebraica tenemos números solos (sin factor literal), por tal se suman. Haciendo estas operaciones la expresión en (ii) nos queda:
(iii)
En este ejemplo hay tres términos que tienen factor literal
, por lo cual son términos semejantes y se pueden sumar. También ocurre lo mismo con los términos que tienen factor literal
y
, los cuales son términos semejantes y se pueden sumar. Reduciendo términos semejantes, nos queda:
9 REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Consiste en sumar y/o restar los coeficientes numéricos conservando el factor literal común.
Ejemplo 1: Reducir
a) (3x – 1) + (x + 1) – (2x – 3) + 4
Eliminando los paréntesis resulta:
3x – 1 + x + 1 – 2x + 3 + 4
Ordenando:
(3x + x – 2x) + (–1 + 3 + 4 + 1)
Reduciendo, se obtiene finalmente:
2x + 7
Ejemplo2: Reducir
b) [2(a – b) – (a + b + 3)] – (2a - 5b + 4)
Eliminando paréntesis:
2a – 2b – a – b – 3 – 2a + 5b – 4
Ordenando:
(2a – a – 2a) + (–2b – b + 5b) + (–3 – 4)
Reduciendo, se obtiene finalmente:
–a + 2b – 7
Ejemplo:
Reducir la siguiente expresión algebraica
2x2 + 5x + 3 - 4x2 + 2x - 7 - 8x + 2x2 - 3 =
Si observas la expresión, encontramos tres tipos de términos:
1) x2
2) x
3) Términos independientes (números solos, sin variable)
Así que sumaremos cada uno de esos términos
2x2 - 4x2 + 2x2 = ( 2 - 4 + 2 )x2 = 0x2
5x + 2x - 8x = ( 5 + 2 - 8 )x = - 1x
3 - 7 - 3 = ( 3 - 7 - 3 ) = -7
es decir:
2x2 + 5x + 3 - 4x2 + 2x - 7 - 8x + 2x2 - 3 = - x - 7
1) Reduccion de dos o mas términos semejantes del mismo signo.
REGLA
Se suman los coeficientes, poniendo de lante de esta suma el mismo segno que tienen todos y a continuación se escribe la parte literal.
EJEMPLOS:
(1) 3a + 2a = 5a. R.
(2) -5b – 7b = 12b. R.
(3) -ab – ab = - 2ab R.
2) Reduccion de dos términos semejantes de distinto signo.
REGLA
Se restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal.
EJEMPLOS:
(1) 2a – 3a = -a. R.
(2) 18x – 11x = 7x. R.
(3) -20ab + 11ab = -9ab. R.
3) Reduccion de mas de dos términos semejantes de signos distintos.
REGLA
Se reducen a un solo termino todos los positivos, se reducen a un solo termino todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica la regla del caso anterior.
EJEMPLOS:
(1) Reducir 5a – 8a + a – 6a + 21a
Reduciendo los positivos: 5a + a + 21a = 27a
Reduciendo los negativos: -8a – 6a = -14a
Aplicando a estos resultados obtenidos, 27a y -14a, la regla del caso anterior, se tiene : 27a -14a = 13a R.
Esta reducción también suele hacerse término a término, de esta manera:
5a – 8a = -3ª; -3a + a = -2a; -2a -6a = -8a; -8a +21a = 13a. R
viernes, 10 de octubre de 2008
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
Un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta y uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula. Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor. Además la velocidad instantánea y media de este movimiento coincidirán.
La distancia recorrida se calcula multiplicando la velocidad por el tiempo transcurrido. Esta operación también puede ser utilizada si la trayectoria del cuerpo no es rectilínea, pero con la condición de que la velocidad sea constante.
Durante un movimiento rectilíneo uniforme también puede presentarse que la velocidad sea negativa. Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos, el positivo sería alejándose del punto de partida y el negativo sería regresando al punto de partida.
De acuerdo a la 1ª Ley de Newton toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo.
Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas. El movimiento es inherente que va relacioneado y podemos decir que forma parte de la materia misma.
Ya que en realidad no podemos afirmar que algún objeto se encuentre en reposo total.
El MRU se caracteriza por:
a)Movimiento que se realiza en una sóla direccion en el eje horizontal.
b)Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables.
c)Las magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0).
Tabla de contenidos
• 1 Ecuaciones del movimiento.
• 2 Formas de graficar el movimiento
• 3 Véase también
• 4 Bibliografía
• 5 Enlaces externos
Ecuaciones del movimiento.
Sabemos que la velocidad V0 es constante, esto es, no existe aceleración.
V = V0
La posición x en el instante t viene dada por:
x = V0t + x0
Donde x0 es la posición inicial.
Desplegar
Derivación de las ecuaciones de movimiento
Formas de graficar el movimiento
Al graficar la velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje x (tiempo), ya que para cualquier valor del tiempo, la velocidad es la misma. Además, el área bajo la recta producida revela la distancia recorrida.
Al graficar la distancia recorrida en función del tiempo (manteniendo siempre la velocidad constante), se obtiene una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es equivalente a la velocidad.
También puede graficarse la posición en función del tiempo, para conocer en qué punto se encuentra el objeto en un determinado instante.
Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.
Velocidad
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeño como sea posible, en el límite cuando t tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5•t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
• 2 y 3 s.
• 2 y 2.1 s.
• 2 y 2.01 s.
• 2 y 2.001 s.
• 2 y 2.0001 s.
• Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t m/s
3 46 25 1 25
2.1 23.05 2.05 0.1 20.5
2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.05
2.001 21.020005 0.020005 0.001 20.005
2.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005
... ... ... ... ...
0 20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
• La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
• La posición del móvil en el instante t+t es x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1
• El desplazamiento es x=x'-x=10tt+5t2
• La velocidad media es
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo t tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de
• La velocidad
• La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.
El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.
Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad
Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.
Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.
Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son
Movimiento rectilíneo uniforme
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando
o gráficamente, en la representación de v en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0
Interpretación geométrica de la derivada
El siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto de derivada y la interpretación geométrica de la derivada
Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa la representación de la función elegida
Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisa t0.
Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección titulado Aumento
• Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica
• Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t0 elegido
• Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada en t0.
Ejemplo:
Elegimos la primera función y el punto t0=3.009
Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.
La derivada de dicha función es
para t0=3.0 la derivada tiene vale -1.0
Integral definida
Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente
Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es Δx=35•10=350 m
Si v=6•t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60•10)/2=300 m
Si v=-8•t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos:
• el de la izquierda tiene un área de (7.5•60)/2=225
• el de la derecha tiene un área de (-20•2.5)/2=-25.
El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200 m
En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura
En el instante ti-1 la velocidad del móvil es vi-1, en el instante ti la velocidad del móvil es vi. La velocidad media en el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es
El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es aproximadamente el área del rectángulo•Δti. El desplazamiento total x-x0 entre el instante inicial t0, y el instante final t=tn es, aproximadamente
donde n es el número de intervalos
Si v=-t2+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t0=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale
x-x0≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m
Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t0, t) es muy grande Δti→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como
Si v=-t2+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t0=0 y t=10 s vale
Actividades
Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:
v=-t2+14t+21
v=-8t+60
v=35
v=2t2-12t-12
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se arrastra el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul, y se pulsa el botón titulado Área.
Se arrastra hacia la derecha el el pequeño cuadrado de color azul, y se vuelve a pulsar el botón titulado Área y así sucesivamente, hasta un máximo de 15 veces.
Se representa y se calcula el área•Δti de cada rectángulo que se suma al área calculada previamente.
Movimiento Rectilineo Uniforme
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De acuerdo a la 1ª Ley de Newton toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo.
Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas. El movimiento es inherente que va relacioneado y podemos decir que forma parte de la materia misma.
Ya que en realidad no podemos afirmar que algún objeto se encuentre en reposo total.
El MRU se caracteriza por:
a)Movimiento que se realiza en una sóla direccion en el eje horizontal.
b)Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables.
c)Las magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0).
Relación Matemática del MRU:
El concepto de velocidad es el cambio de posición (desplazamiento) con respecto al tiempo.
Fórmula:
v= d/t ; d=v*t ; t=d/v
v=velocidad d=distancia o desplazamiento t=tiempo
MECÁNICA: Parte de la Física que estudia el movimiento, lo que lo produce y lo que lo modifica y afecta y se divide en:
Ciniemática:Estudia el movimiento sin importar las causas.
Dinámica:Estudia el movimiento así como sus causas.
Dentro del movimiento existe un móvil (el que se mueve) y el camino que sigue éste (trayectoria).
Distancia:Cantidad escalar. Que tanto recorre el móvil.
Desplazamiento:Cantidad vectorial. Es la distancia con su dirección.
Rapidez:Cantidad escalar y es la relación de la longitud con un intervalo de tiempo.
Velocidad:Cantidad vectorial, relación del desplazamiento en un intervalo de tiempo.
Velocidad y Rapidez Instantanea: Medición en el momento en un punto arbitrareo.
Velocidad y Rapidez Media:Promedio entre la velocidad inicial y la velocidad final. (Vi y Vf) Vi+Vf/2.
Velocidad y Rapidez Promedio:Distancia recorrida entre el tiempo transcurrido en recorrer dicha distacia.
PROBLEMA:
Un corredor trota de un extremo a otro de la pista en línea recta 300m en 2.5 min., luego se voltea y trota 100m hacia el punto de partida en otro minuto.
1.-¿Cuáles son la rapidez y velocidad promedio del trotador al ir del punto A al B y del punto B al C?
2.-¿Cuál es la rapidez y velocidad media del trotador para los mismos casos?
1.-a) rprom= 300m/2.5min=120 m/min
b)rprom=400m/3.5 min = 114.28 m/min
a)vprom=300m / 2.5 min=120m/min 0º (E)
b) vprom= 200m/3.5min = 57.14 m/min 0º (E)
2.-a) r=ri + rf / 2= 0+120m/min /2 = 60 m/min
b) (0+114.28 m/min /2= 57.14 m/min
a)v= 0+120 m/min /2 = 60 m/min al E
b) v= 0+57.14 m/min /2 = 28.57 m/min al E
3.- rb=120m/min rc= 100m/min
r= 120 m/min+100m/min /2 =
r= 110 m/min.
Rapidez promedio: a)120 m/min b)114.28 m/min
Velocidad promedio: a) 120m/min al E b)57.14m/min al E
Rapidez media: a)60m/min b)57.14m/min
Velocidad media: a)60m/min al E b)28.57m/min al E
GRAFICAS DE MRU.
Al graficar el desplazamiento (distancia) contra tiempo se obtiene ina línea recta. La pendiente de la línea recta representa el valor de la velocidad para dicha partícula.
Al realizar la gráfica de velocidad contra tiempo obtenemos una recta paralela al eje X. Podemos calcular el deslazamiento como el área bajo la línea recta.
RESUMEN
El movimiento rectilíneo uniformemente variado es aquel que experimenta aumentos o disminuciones y además la trayectoria es una línea recta Por tanto, unas veces se mueve más rápidamente y posiblemente otras veces va más despacio. En este caso se llama velocidad media
Por tanto cabe mencionar que si la velocidad aumenta el movimiento es acelerado, pero si la velocidad disminuye es retardado
La representación Gráfica Es Una Parábola y existen dos Alternativas:
A) Si La Parábola Presenta Concavidad Positiva (Simulando La Posición De Una "U"), El Movimiento Se Denomina Movimiento Uniformemente Acelerado (M.U.A.).
B) Si La Parábola Presenta Concavidad Negativa ("U" Invertida), El Movimiento Se Denomina: Movimiento Uniformemente Retardado (M.U.R.).
Esta parábola describe la relacion que existe entre el tiempo y la distancia, ambos son directamente proporcionales a la un medio; y ese es el objetivo principal en que se basa el modelo de hipótesis de trabajo.
S e puede interpretar que en el MRUV La velocidad se mantiene constante a lo largo del tiempo.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA E HIPÓTESIS
Observación:
Al colocar una esfera de acero sobre un plano inclinado; observamos que en su desplazamiento la distancia es directamente proporcional al tiempo.
Magnitudes físicas:
1. Velocidad
2. Tiempo
3. Masa
4. Longitud
Problema definitivo:
Investigar la relación que existe entre el tiempo y la distancia recorrida por una esfera cuando es soltada del punto más alto de un plano inclinado.
Hipótesis Definitiva:
El tiempo es directamente proporcional a la distancia elevada a la un medio (1/2)
VARIABLE INDEPENDIENTE: Distancia
VARIABLE DEPENDIENTE: Tiempo
PARÁMETROS CONSTANTES: Gravedad,
MAGNITUDES DE INFLUENCIA: Temperatura
APROXIMACIONES: El 10 % de incertidumbre, la exactitud y la precisión de el equipo de medición
Un movimiento es rectilíneo cuando describe una trayectoria recta y uniforme cuando su velocidad es constante en el tiempo, es decir, su aceleración es nula. Esto implica que la velocidad media entre dos instantes cualesquiera siempre tendrá el mismo valor. Además la velocidad instantánea y media de este movimiento coincidirán.
La distancia recorrida se calcula multiplicando la velocidad por el tiempo transcurrido. Esta operación también puede ser utilizada si la trayectoria del cuerpo no es rectilínea, pero con la condición de que la velocidad sea constante.
Durante un movimiento rectilíneo uniforme también puede presentarse que la velocidad sea negativa. Por lo tanto el movimiento puede considerarse en dos sentidos, el positivo sería alejándose del punto de partida y el negativo sería regresando al punto de partida.
De acuerdo a la 1ª Ley de Newton toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo.
Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas. El movimiento es inherente que va relacioneado y podemos decir que forma parte de la materia misma.
Ya que en realidad no podemos afirmar que algún objeto se encuentre en reposo total.
El MRU se caracteriza por:
a)Movimiento que se realiza en una sóla direccion en el eje horizontal.
b)Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables.
c)Las magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0).
Tabla de contenidos
• 1 Ecuaciones del movimiento.
• 2 Formas de graficar el movimiento
• 3 Véase también
• 4 Bibliografía
• 5 Enlaces externos
Ecuaciones del movimiento.
Sabemos que la velocidad V0 es constante, esto es, no existe aceleración.
V = V0
La posición x en el instante t viene dada por:
x = V0t + x0
Donde x0 es la posición inicial.
Desplegar
Derivación de las ecuaciones de movimiento
Formas de graficar el movimiento
Al graficar la velocidad en función del tiempo se obtiene una recta paralela al eje x (tiempo), ya que para cualquier valor del tiempo, la velocidad es la misma. Además, el área bajo la recta producida revela la distancia recorrida.
Al graficar la distancia recorrida en función del tiempo (manteniendo siempre la velocidad constante), se obtiene una recta que pasa por el origen y cuya pendiente es equivalente a la velocidad.
También puede graficarse la posición en función del tiempo, para conocer en qué punto se encuentra el objeto en un determinado instante.
Movimiento rectilíneo
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
Desplazamiento
Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado x=x'-x en el intervalo de tiempo t=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.
Velocidad
La velocidad media entre los instantes t y t' está definida por
Para determinar la velocidad en el instante t, debemos hacer el intervalo de tiempo t tan pequeño como sea posible, en el límite cuando t tiende a cero.
Pero dicho límite, es la definición de derivada de x con respecto del tiempo t.
Para comprender mejor el concepto de velocidad media, resolvemos el siguiente ejercicio
Ejercicio
Una partícula se mueve a lo largo del eje X, de manera que su posición en cualquier instante t está dada por x=5•t2+1, donde x se expresa en metros y t en segundos.
Calcular su velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre:
• 2 y 3 s.
• 2 y 2.1 s.
• 2 y 2.01 s.
• 2 y 2.001 s.
• 2 y 2.0001 s.
• Calcula la velocidad en el instante t=2 s.
En el instante t=2 s, x=21 m
t’ (s) x’ (m) Δx=x'-x Δt=t'-t m/s
3 46 25 1 25
2.1 23.05 2.05 0.1 20.5
2.01 21.2005 0.2005 0.01 20.05
2.001 21.020005 0.020005 0.001 20.005
2.0001 21.00200005 0.00200005 0.0001 20.0005
... ... ... ... ...
0 20
Como podemos apreciar en la tabla, cuando el intervalo Δt→0, la velocidad media tiende a 20 m/s. La velocidad en el instante t=2 s es una velocidad media calculada en un intervalo de tiempo que tiende a cero.
Calculamos la velocidad en cualquier instante t
• La posición del móvil en el instante t es x=5t2+1
• La posición del móvil en el instante t+t es x'=5(t+t)2+1=5t2+10tt+5t2+1
• El desplazamiento es x=x'-x=10tt+5t2
• La velocidad media
La velocidad en el instante t es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero
La velocidad en un instante t se puede calcular directamente, hallando la derivada de la posición x respecto del tiempo.
En el instante t=2 s, v=20 m/s
Aceleración
En general, la velocidad de un cuerpo es una función del tiempo. Supongamos que en un instante t la velocidad del móvil es v, y en el instante t' la velocidad del móvil es v'. Se denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo en el que se ha tardado en efectuar dicho cambio, t=t'-t.
La aceleración en el instante t es el límite de la aceleración media cuando el intervalo t tiende a cero, que es la definición de la derivada de v.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta x=2t3-4t2+5 m. Hallar la expresión de
• La velocidad
• La aceleración del móvil en función del tiempo.
Dada la velocidad del móvil hallar el desplazamiento
Si conocemos un registro de la velocidad podemos calcular el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, mediante la integral definida.
El producto v dt representa el desplazamiento del móvil entre los instantes t y t+dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t0 y t.
En la figura, se muestra una gráfica de la velocidad en función del tiempo, el área en color azul mide el desplazamiento total del móvil entre los instantes t0 y t, el segmento en color azul marcado en la trayectoria recta.
Hallamos la posición x del móvil en el instante t, sumando la posición inicial x0 al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva v-t o mediante cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.
Ejemplo:
Un cuerpo se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ley v=t3-4t2 +5 m/s. Si en el instante t0=2 s. está situado en x0=4 m del origen. Calcular la posición x del móvil en cualquier instante.
Dada la aceleración del móvil hallar el cambio de velocidad
Del mismo modo, que hemos calculado el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t, a partir de un registro de la velocidad v en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad v-v0 que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de un registro de la aceleración en función del tiempo.
En la figura, el cambio de velocidad v-v0 es el área bajo la curva a-t, o el valor numérico de la integral definida en la fórmula anterior.
Conociendo el cambio de velocidad v-v0, y el valor inicial v0 en el instante t0, podemos calcular la velocidad v en el instante t.
Ejemplo:
La aceleración de un cuerpo que se mueve a lo largo de una línea recta viene dada por la expresión. a=4-t2 m/s2. Sabiendo que en el instante t0=3 s, la velocidad del móvil vale v0=2 m/s. Determinar la expresión de la velocidad del móvil en cualquier instante
Resumiendo, las fórmulas empleadas para resolver problemas de movimiento rectilíneo son
Movimiento rectilíneo uniforme
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando
o gráficamente, en la representación de v en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente.
Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando
Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.
Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0
Interpretación geométrica de la derivada
El siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto de derivada y la interpretación geométrica de la derivada
Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se observa la representación de la función elegida
Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisa t0.
Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección titulado Aumento
• Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica
• Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t0 elegido
• Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada en t0.
Ejemplo:
Elegimos la primera función y el punto t0=3.009
Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.
La derivada de dicha función es
para t0=3.0 la derivada tiene vale -1.0
Integral definida
Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente
Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es Δx=35•10=350 m
Si v=6•t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60•10)/2=300 m
Si v=-8•t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos:
• el de la izquierda tiene un área de (7.5•60)/2=225
• el de la derecha tiene un área de (-20•2.5)/2=-25.
El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200 m
En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura
En el instante ti-1 la velocidad del móvil es vi-1, en el instante ti la velocidad del móvil es vi. La velocidad media
El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es aproximadamente el área del rectángulo
donde n es el número de intervalos
Si v=-t2+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t0=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale
x-x0≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m
Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t0, t) es muy grande Δti→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como
Si v=-t2+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t0=0 y t=10 s vale
Actividades
Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes:
v=-t2+14t+21
v=-8t+60
v=35
v=2t2-12t-12
Se pulsa el botón titulado Nuevo
Se arrastra el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul, y se pulsa el botón titulado Área.
Se arrastra hacia la derecha el el pequeño cuadrado de color azul, y se vuelve a pulsar el botón titulado Área y así sucesivamente, hasta un máximo de 15 veces.
Se representa y se calcula el área
Movimiento Rectilineo Uniforme
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De acuerdo a la 1ª Ley de Newton toda partícula permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza neta que actúe sobre el cuerpo.
Esta es una situación ideal, ya que siempre existen fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas. El movimiento es inherente que va relacioneado y podemos decir que forma parte de la materia misma.
Ya que en realidad no podemos afirmar que algún objeto se encuentre en reposo total.
El MRU se caracteriza por:
a)Movimiento que se realiza en una sóla direccion en el eje horizontal.
b)Velocidad constante; implica magnitud y dirección inalterables.
c)Las magnitud de la velocidad recibe el nombre de rapidez. Este movimiento no presenta aceleración (aceleración=0).
Relación Matemática del MRU:
El concepto de velocidad es el cambio de posición (desplazamiento) con respecto al tiempo.
Fórmula:
v= d/t ; d=v*t ; t=d/v
v=velocidad d=distancia o desplazamiento t=tiempo
MECÁNICA: Parte de la Física que estudia el movimiento, lo que lo produce y lo que lo modifica y afecta y se divide en:
Ciniemática:Estudia el movimiento sin importar las causas.
Dinámica:Estudia el movimiento así como sus causas.
Dentro del movimiento existe un móvil (el que se mueve) y el camino que sigue éste (trayectoria).
Distancia:Cantidad escalar. Que tanto recorre el móvil.
Desplazamiento:Cantidad vectorial. Es la distancia con su dirección.
Rapidez:Cantidad escalar y es la relación de la longitud con un intervalo de tiempo.
Velocidad:Cantidad vectorial, relación del desplazamiento en un intervalo de tiempo.
Velocidad y Rapidez Instantanea: Medición en el momento en un punto arbitrareo.
Velocidad y Rapidez Media:Promedio entre la velocidad inicial y la velocidad final. (Vi y Vf) Vi+Vf/2.
Velocidad y Rapidez Promedio:Distancia recorrida entre el tiempo transcurrido en recorrer dicha distacia.
PROBLEMA:
Un corredor trota de un extremo a otro de la pista en línea recta 300m en 2.5 min., luego se voltea y trota 100m hacia el punto de partida en otro minuto.
1.-¿Cuáles son la rapidez y velocidad promedio del trotador al ir del punto A al B y del punto B al C?
2.-¿Cuál es la rapidez y velocidad media del trotador para los mismos casos?
1.-a) rprom= 300m/2.5min=120 m/min
b)rprom=400m/3.5 min = 114.28 m/min
a)vprom=300m / 2.5 min=120m/min 0º (E)
b) vprom= 200m/3.5min = 57.14 m/min 0º (E)
2.-a) r=ri + rf / 2= 0+120m/min /2 = 60 m/min
b) (0+114.28 m/min /2= 57.14 m/min
a)v= 0+120 m/min /2 = 60 m/min al E
b) v= 0+57.14 m/min /2 = 28.57 m/min al E
3.- rb=120m/min rc= 100m/min
r= 120 m/min+100m/min /2 =
r= 110 m/min.
Rapidez promedio: a)120 m/min b)114.28 m/min
Velocidad promedio: a) 120m/min al E b)57.14m/min al E
Rapidez media: a)60m/min b)57.14m/min
Velocidad media: a)60m/min al E b)28.57m/min al E
GRAFICAS DE MRU.
Al graficar el desplazamiento (distancia) contra tiempo se obtiene ina línea recta. La pendiente de la línea recta representa el valor de la velocidad para dicha partícula.
Al realizar la gráfica de velocidad contra tiempo obtenemos una recta paralela al eje X. Podemos calcular el deslazamiento como el área bajo la línea recta.
RESUMEN
El movimiento rectilíneo uniformemente variado es aquel que experimenta aumentos o disminuciones y además la trayectoria es una línea recta Por tanto, unas veces se mueve más rápidamente y posiblemente otras veces va más despacio. En este caso se llama velocidad media
Por tanto cabe mencionar que si la velocidad aumenta el movimiento es acelerado, pero si la velocidad disminuye es retardado
La representación Gráfica Es Una Parábola y existen dos Alternativas:
A) Si La Parábola Presenta Concavidad Positiva (Simulando La Posición De Una "U"), El Movimiento Se Denomina Movimiento Uniformemente Acelerado (M.U.A.).
B) Si La Parábola Presenta Concavidad Negativa ("U" Invertida), El Movimiento Se Denomina: Movimiento Uniformemente Retardado (M.U.R.).
Esta parábola describe la relacion que existe entre el tiempo y la distancia, ambos son directamente proporcionales a la un medio; y ese es el objetivo principal en que se basa el modelo de hipótesis de trabajo.
S e puede interpretar que en el MRUV La velocidad se mantiene constante a lo largo del tiempo.
DEFINICIÓN DEL PROBLEMA E HIPÓTESIS
Observación:
Al colocar una esfera de acero sobre un plano inclinado; observamos que en su desplazamiento la distancia es directamente proporcional al tiempo.
Magnitudes físicas:
1. Velocidad
2. Tiempo
3. Masa
4. Longitud
Problema definitivo:
Investigar la relación que existe entre el tiempo y la distancia recorrida por una esfera cuando es soltada del punto más alto de un plano inclinado.
Hipótesis Definitiva:
El tiempo es directamente proporcional a la distancia elevada a la un medio (1/2)
VARIABLE INDEPENDIENTE: Distancia
VARIABLE DEPENDIENTE: Tiempo
PARÁMETROS CONSTANTES: Gravedad,
MAGNITUDES DE INFLUENCIA: Temperatura
APROXIMACIONES: El 10 % de incertidumbre, la exactitud y la precisión de el equipo de medición
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